UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES

Sujet: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:23

Les aiguilles de l'horloge

Les lecteurs des paradoxes connaissent la course entre Achille et la tortue de Zénon d'Elée le philosophe grec. Ici la tortue a 12 pas d'avance.
Chaque fois qu'Achille avance de 12 pas la tortue avance de 1 pas. Si Achille avance alors de 1 pas, la tortue avance de 1/12 pas... Alors on se dit qu'il y aura toujours un écart entre eux, même s'il devient de plus en plus petit. Nous savons pourtant qu'Achille rattrape effectivement la tortue mais où ?
Christophe, mon ami suisse passionné de montres, s'interroge devant la course des aiguilles : il est exactement midi. L'aiguille des minutes va 12 fois plus vite que celle des heures.
Combien de fois les aiguilles se superposeront-elles avant minuit ? A la seconde près quels sont les instants où elles se superposeront ?
Et si on voulait aussi superposer l'aiguille des secondes ?

Exercez-vous en mode manuel sur votre l'horloge sur laquelle on fait tourner l'aiguille des secondes.

la précision des secondes sera moindre dans cette horloge puisque la rotation est réalisée minute par minute.
L'intérêt réside évidemment dans la rapidité de la rotation des aiguilles.

SOLUTION
Si l'aiguille des minutes va douze fois plus vite que celle des heures, alors elle rencontrera celle des heures 11 fois en douze heures.
Attention 11 fois mais pas 12.
En effet si on appelle x l'intervalle parcouru entre les superpositions par la petite aiguille sur les 12 heures de l'horloge, alors la grande aiguille (minutes) a parcouru 12 fois plus soit 12 x et elle se superpose à la grande lorsqu'elle a parcouru 12 + x sur l'horloge. Nous avons donc :
12 x = 12 + x donc 11 x = 12 et x = 12/11
Il y aura donc une rencontre tous les 12/11èmes de 12 heures. Nous trouvons une rencontre chaque 1,090909... heure soit régulièrement au bout de 1 heure 5 minutes et 27 secondes et des tierces...

Une autre façon de procéder consiste à travailler sur un tour complet de 360°, on trouverait une rencontre tous les 360/11 ~ 32,7272°, cela donnera le même résultat en heure : (32,7272/360) x 12 ~ 1,0909...

Les aiguilles sont en coïncidence à
12 heures 0 minute 0 seconde
puis à 1 heure 5 minutes 27 secondes et 3/11 seconde...
puis à 2 heures 10 minutes 54 secondes et 6/11 seconde...
puis à 3 heures 16 minutes 21 secondes et 9/11 seconde...
puis à 4 heures 21 minutes 49 secondes et 1/11 seconde...
puis à 5 heures 27 minutes 16 secondes et 4/11 seconde...
puis à 6 heures 32 minutes 43 secondes et 7/11 seconde...
puis à 7heures 38 minutes 10 secondes et 10/11 seconde...
puis à 8 heures 43 minutes 38 secondes et 2/11 seconde...
puis à 9 heures 49 minutes 05 secondes et 5/11 seconde...
puis à 10 heures 54 minutes 32 secondes et 8/11 seconde...

Pour la troisième aiguille des secondes, il faut d'abord que les deux premières se superposent : alors on regarde uniquement les onze résultats calculés ci-dessus et... on ne trouve aucun cas où la troisième se superpose à la seconde près sauf à midi ou à minuit : il faut pour cela que le nombre de secondes soit identique à celui des minutes... Par contre si l'on est moins exigeant, à 5 secondes près par exemple nous avons une superposition à 3 heures 16 minutes 21 secondes.

Le graphique suivant (proposé par Pierre Jullien) permet de voir le problème sous un autre angle :
les traits obliques fins représentent le parcours de la grande aiguille et le trait plus épais représente celui de la petite aiguille.
L'axe horizontal représente le temps qui s'écoule en heures et l'axe vertical reflète les positions des aiguilles sur le bord déroulé du cadran horaire.

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Horloge

Nous retrouvons les solutions aux intersections des traits. Cela donne 11 solutions en comptant le départ : 12h 0 minute 0 seconde ou 0 heure 0 minute 0 seconde.

Paradoxe des aiguilles
1 heure c'est 60 minutes, pourtant l'aiguille des minutes ne va que 12 fois plus vite que celle des heures !
1 minute c'est 60 secondes et l'aiguille des secondes va bien 60 fois plus vite que celle des minutes ;o)

La petite blague de Christophe
Un esquimau se trouvant sur la banquise attend impatiemment sa douce moitié qui est en retard pour un rendez-vous galant.
Il sort alors un thermomètre de sa poche et se dit :"Si elle n'est pas là à moins 20, je m'en vais !"

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:27

la monnaie de la pièce...

Trois jeunes gens prennent un plat sur une terrasse ensoleillée au mois de Juin. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, leur fait une réduction de 5 euros. Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens.

Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du Monsieur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros. MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro?

REPONSE:

Il s'agit bien d'arnaque, mais celle-ci se situe dans le texte : cela n'a aucun sens de calculer 27 + 2 .
Soit on calcule à partir de 27 :
9 x 3 = 27 (27 euros déboursés, 25 pour le plat et 2 dans la poche indélicate ) et alors on calcule 27 - 2 pour retrouver les 25 euros dus ;
Soit on calcule à partir de 30 :
30 = 25 + 2 + 3 (plat plus monnaie : 2 euros dans la poche et 3 euros rendus )
ou 30 = 27 + 3 (27 euros payés et 3 euros effectivement rendus)

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:32

Histoires d'eau UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Herbe

Le halage du bateau
UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Pt_jaune

Solution

Explication
UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Pt_jaune

Pierre qui coule, glace fondante

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Bat2

Le halage du bateau

Pous amarrer un bateau, on fixe une corde à l'avant et on l'enroule à un poteau situé sur un ponton comme sur le schéma. Le courant maintient la corde tendue.

Du ponton on tire la corde d'un mètre. De combien avance le bateau ?
D'un mètre ?
De plus ?
De moins ?

Le bateau avance de plus d'un mètre. Déplacer le point C et observer les résultats numériques.

Explication
Dans un triangle, un côté est toujours compris entre la somme et la différence des deux autres (inégalité triangulaire).
Le bateau avance donc d'une distance supérieure à la différence de longueur des deux positions de la corde qui est de 1 mètre.
Prenons PB la longueur initiale de la corde et PF la longueur de la corde à un instant ultérieur.Le bateau a alors avancé de BF.

Le bateau avance de BF,
entre le bateau et le ponton la corde initiale est PB
et la corde finale est PF, on a BF > PB - PF
ou PF + BF > PB

On peut aussi remarquer que PB varie de l'infini à Ph alors que Bh varie de l'infini jusqu'à zéro.

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:36

REPONSES TOUJOURS SUR LE BATEAU:

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Pt_v

Pierre qui coule

Une grosse pierre,
dans le bateau,
qui flotte sur le lac.
On jette la pierre dans le lac :
elle coule.
QUESTION :
Que devient le niveau du lac ?
Il monte ?
Il baisse ?
Il ne change pas ?

Glace fondante

Quand les glaçons fondent dans un verre rempli d'eau à ras bord, que se passe-t-il ?
l'eau déborde du verre ?
le niveau d'eau diminue ?
le niveau ne change pas ?
Le réchauffement de la planète va-t-il faire s'élever le niveau des océans en faisant fondre les icebergs ?

Coup de pouce
Faites vraiment l'expérience des glaçons.

Solutions

Le niveau baisse quand la pierre est dans l'eau !
En effet dans le bateau, la pierre déplace un volume d'eau V1 de masse égale à celle de la pierre. C'est le principe d'Archimède : "Tout corps plongé dans un fluide éprouve une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de liquide déplacé par ce dernier"qu'il déplace..."
Si la pierre pèse 1 kilo, un litre d'eau est déplacé mais la pierre occupe un volume plus petit que celui d'un litre d'eau.
Dans l'eau la pierre qui a coulé, déplace un volume d'eau égal à son propre volume V2.
Comme la pierre coule, elle a une densité supérieure à celle de l'eau et pour une même masse son volume est plus petit que celui de l'eau. V2 est plus petit que V1.
Le volume d'eau déplacé V2 est donc plus petit quand la pierre est dans l'eau.
Quand les glaçons fondent dans un verre rempli d'eau à ras bord, l'eau ne déborde pas du verre.
Le niveau reste inchangé.
En effet la masse de l'eau déplacée est égale à celle du total des glaçons : ceux-ci en équilibre sont soumis à deux forces qui s'annulent, leur poids et la pousée d'Archimède.
En redevenant eau, les glaçons occupent donc un volume identique à celui de l'eau déplacée qui avait la même masse qu'eux.
Dans les deux cas avant et après la fonte, le volume d'eau est identique.
ALORS le niveau des océans MONTERA-T-IL OU NON avec le réchauffement de la planète ?
En tout cas, s'il monte cela ne viendra pas de la fonte des icebergs aussi gros soient-ils !

C'est un peu plus compliqué...

le niveau montera tout de même car ...
il y a des glaces terrestres qui fondront,
mais aussi parce que de l'eau chaude occupe un volume plus important que de l'eau froid. La dilatation des océans provoque une montée des eaux.
Par ailleurs, on peut penser aux perturbations dans le cycle de l'eau du système terrestre...

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:41

Le partage des dromadaires

Sentant sa fin proche, un vieux cheik indiqua ses dernières volontés à son sage conseiller.
Il désirait ainsi partager son cheptel :
la moitié pour son fils aîné, le tiers au second et enfin le neuvième au cadet.
Malheureusement à son décès, son troupeau se composait de 17 dromadaires...
Alors le sage conseiller emprunta un dromadaire au voisin.. Il avait donc 18 bêtes, qu'il partagea ainsi : la moitié soit 9 pour l'aîné, le tiers soit 6 pour le second et enfin le neuvième soit 2 pour le cadet.
Et comme 9 + 6 + 2 =17... il rendit le 18éme animal à son propriétaire.
Et chacun des héritiers eut la satisfaction de recevoir plus que son père ne leur avait attribué.
Le premier reçut 1/2 animal en plus (9 au lieu de 8,5), le deuxième 1/3 de dromadaire en plus et le dernier 1/9 en plus ...
Paradoxal ? Mais le vieux conseiller était très sage,
il n'a pas commis d'injustice ! A vous de le prouver...

Bien sûr le vieux conseiller n'a pas donné la moitié du troupeau à l'aîné ni
le tiers au second, pas plus que le neuvième au troisième.
Ce curieux résultat paradoxal au premier abord, s'explique si l'on remarque
que la somme des fractions 1/2, 1/3 et 1/9 est de 17/18 et non l'unité 18/18.
Par suite, en suivant à la lettre les instructions du père et en supposant
qu'on ait pu faire le partage, il serait resté une partie de la succession,
c'est-à-dire 1/18 de cette succession sans possesseur.
Cependant il a respecté les proportions entre les trois héritiers. Les
nombres obtenus sont proportionnels à 1/2, 1/3 et enfin 1/9 :
en effet 6 représente 2/3 de 9 (ce qui est le rapport de 1/3 et de 1/2) ;
2 représente 2/9 de 9 (ce qui est le rapport de 1/9

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:49

Les billes malicieuses
Nous allons maintenant déplacer des billes d'un récipient vers un autre et vice versa. Nous disposons ci-dessous d'un récipient vert et d'un récipient rouge.
L'un contient 30 billes vertes et l'autre 12 billes rouges.
Prenez un nombre quelconque de billes vertes et mettez-les avec les rouges.
Ensuite reprenez un même nombre de billes dans le récipient rouge où billes vertes et rouges sont mélangées, peu importe la couleur, et placez-les dans le récipient vert.
Les deux récipients contiennent maintenant le même nombre de billes qu'au départ.
ALORS quel que soit l'échange il y a autant de billes vertes que de rouges échangées ! Faites l'expérience et regardez bien les nombres de billes échangées quand les récipients ont à nouveau respectivement 30 et 12 billes..

Peu importe le mélange de billes obtenu,
dès que les deux récipients ont le même nombre de billes qu'au départ,
le nombre de billes vertes et rouges
changeant de récipient est toujours identique.

Vous pouvez faire l'expérience chez vous avec un nombre quelconque de billes.
UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Pt_v

Du whisky
Nous avons déjà avec Alec et Julien, versé du lait dans du café puis du café dans du lait. Ceci dans deux tasses identiques. Nous étions assez étonnés du résultat final. Nous allons prendre maintenant deux verres de capacité différente.
Prenons un grand verre d'eau et un petit verre de whisky. Versons un peu d'eau dans le whisky.
Maintenant versons un peu de mélange whisky-eau dans le verre d'eau, jusqu'à ce qu'il retrouve le niveau initial.
Nous avons donc versé de l'eau pure dans le whisky puis un mélange de whisky et d'eau dans le verre d'eau.
Question : Y-a-t-il maintenant plus d'eau dans le verre que de whisky dans l'eau ?
Cette fois les récipients n'ont pas la même capacité. Et.. nous avons versé de l'eau pure dans le whisky alors que nous avons versé du whisky dilué dans l'eau.
La réponse est difficile à admettre mais nous avons échangé la même quantité d'eau que de whisky.
UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Eau2

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Eau2

Petite démonstration
Elle est très très simple.
Soit x le nombre de billes vertes et y le nombre de billes rouges.
Supposons qu'à la fin de l'expérience nous ayions transvasé v billes vertes vers les rouges et r billes rouges vers les vertes.
Les récipients devant rester pleins nous aurons :

x - v + r = x
donc
- v + r = 0
finalement v = r y + v - r = y
donc
v - r = 0
et v = r

Le résultat est le même entre l'eau (billes vertes) et le whisky (billes rouges).
Les quantités d'eau et de whisky échangées sont identiques.

Notre cerveau a du mal à appréhender cette situation.
Nous commettons des erreurs même si nous sommes intelligents ;-)
et recherchons quelquefois la complexité quand il n'y en a pas...

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:53

Voici un petit problème très simple
Surtout ne lisez la suite, qu'après l'avoir résolu !

Un gérant d'hypermarché achète 125 cageots de 12 kg de tomates à 1,35 euro le kilo.

Il revend les tomates à 2,16 euros le kilo et fait un bénéfice de 988,2 euros.

Question
Combien de kilos de tomates n'ont pas été vendus ?

Alain propose sa solution :
A.
125 cageots de 12 kg donnent 1500kg
Bénéfice en euros au kg :
2,16 - 1,35 = 0,81
Bénéfice total : 988,2 euros.
Nombre de kg correspondant au bénéfice :
988,2 : 0,81 = 1220
Quantité non vendue en kg :
1500 - 1220 = 280 Bernard montre la sienne :
B.
Prix de vente : bénéfice + prix d'achat
Prix de vente en euros :
988,2 + 1,35 x (125 x 12) = 3013,2
Quantité vendue en kg :
3013,2 : 2,16 = 1395
Quantité non vendue en kg :
1500 - 1395 = 105

Et vous qu'avez vous trouvé ?

A. Bénéfice en fonction des kilos achetés
125 cageots de 12 kg donnent 1500kg
Bénéfice en euros au kg :
2,16 - 1,35 = 0,81
Bénéfice total : 988,2 euros.
Nombre de kg correspondant au bénéfice :
988,2 : 0,81 = 1220
Quantité non vendue en kg :
1500 - 1220 = 280
Interprétation :
Ici les tomates non vendues gardent leur valeur potentielle de vente (elles n'ont pas été prises en compte dans le bénéfice) et elles n'occasionnent aucune perte. B. Bénéfice sur les ventes effectives.
Prix de vente : bénéfice + prix d'achat
Prix de vente en euros :
988,2 + 1,35 x (125 x 12) = 3013,2
Quantité vendue en kg :
3013,2 : 2,16 = 1395
Quantité non vendue en kg :
1500 - 1395 = 105
Interprétation :
Ici on considère que les tomates non vendues n'ont plus aucune valeur. Elles sont déjà comptées dans le compte du bénéfice.
C. Une dernière solution :
Bénéfice par kg de tomates (en euros)
2,16 - 1,35 = 0,81
Prix d'achat de toutes les tomates (en euros)
125 x 12 x 1,35 = 2025
Prix de vente de toutes les tomates (en euros)
125 x 12 x 2,16 = 3240
Bénéfice obtenu en vendant toutes les tomates (en euros)
3240 - 2025 = 1215
Mais on n'a obtenu que 988,2 euros
La différence correspond à l'absence de bénéfice sur les tomates invendues, soit en euros :
1215 - 988,2 = 226,8

Interprétation 1 :
Les tomates non vendues gardent leur valeur potentielle de vente et n'occasionnent ni perte ni gain.
Nombre de kg de tomates invendues
226,8 : 0,81 = 280. Interprétation 2 :
Les tomates non vendues n'ont plus aucune valeur. La perte est du prix de vente pour chaque kg non vendu.
Nombre de kg de tomates invendues
226,8 : 2,16 = 105.

Finalement, il n'est pas facile d'entrer dans la pensée d'autrui.
Ici ce problème si simple... peut effectivement produire deux solutions ayant chacune leur degré de validité.
Le texte ne précise pas ce que deviennent les tomates invendues et surtout ce qu'on entend par bénéfice.

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:57

Voici un carré de côté 8.
Son aire est donc de 64.
On découpe ce carré comme indiqué sur la figure ci-contre.
Nous obtenons 4 morceaux, deux à deux superposables, que nous plaçons dans un rectangle comme ci-dessous. N'hésitez surtout pas à construire et découper les morceaux pour vérifier
Le rectangle de 13 sur 5 a une aire de 65 !
Ne devrait-elle pas être de 64 ?
Que s'est-il passé ?

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Fibo1

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Fibo1

Explication

En réalité, la différence des aires s'explique rationnellement. Les 4 morceaux ont toujours la même aire en passant du carré au rectangle.
Mais, ils ne recouvrent pas totalement le rectangle : la 'diagonale' du rectangle n'en est pas une, ce n'est pas une ligne droite. Les points A, B, CetD ne sont pas alignés et il existe un espace (si petit !) entre les bords des quatre morceaux. Pour que ces points soient alignés, il faudrait que (8+5)/5 soit égal à 8/3. L'aire de ce 'trou' rouge sur la figure est exactement de 1.

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mer 27 Jan 2010 - 7:59

Le bonnet d'âne

UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Pt_v

Le bonnet
Prof, pose un problème dans sa classe :
Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E notées sur la figure.
Très simple quand on sait calculer l'aire d'un trapèze ou d'un triangle !
Chacun y va de sa méthode et finalement nous obtenons les résultats suivants :

Première méthode: calcul de la différence des aires du trapèze (ABCD) et du triangle (AED).
Aire (ABCD) - Aire(AED) =
Deuxième méthode : calcul direct .
Aire (ABC) + Aire(BDC) - Aire(BEC) =
Chacune des deux méthodes semble exacte, pourtant les résultats sont différents.
Y-a-t-il un bon résultat ?
Si oui quel est le bon ? Et où est l'erreur ?

Solution

Les deux procédures semblent exactes à priori.
Mais la deuxième procédure utilise l'alignement des points A, E et C, tout comme celui symétrique des points D, E et B.
Or ces points ne sont pas alignés. En effet, s'ils l'étaient, nous aurions égalité pour la tangente des angles AEF et HEC.
Or tangente(AEF) = 3/4
et tangente(HEC) = 2/3
et 3/4 2/3.
On peut vérifier que la droite (AC) ne passe pas par E, en posant la souris sur la figure ci-dessous.

Par le calcul on vérifie bien que le point d'intersection des deux droites (AC) et (BD) n'est pas E :
(AC) d'équation y = -(5/7) x + 5 et
(BD) d'équation y = (5/7) x + - 5/7
ont pour intersection le point d'abscisse x =4 et d'ordonnée y =15/7.

Donc le résultat exact est le premier qui utilise la différence d'aire du trapèze et celle du triangle sans faire intervenir les droites (AC) et (BD) : c'est 23.
On peut retrouver ce résultat avec la formule de Pick en comptant les points du réseau qui sont sur le tour de la figure : 10 puis ceux qui sont à l'intérieur : 19. La formule donne l'aire : 10/2 + 19 - 1 = 23.

Sujet: Re: UN PEU DE MATHEMATIQUE QUESTIONS REPONSES Mar 23 Mar 2010 - 20:13

Ils sont trop forts tes problèmes Soly 555

très didactiques, amusants, pratiques et bien illustrés. Bravo.
Avis aux petits matheux :titi:

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